اختبار مربع كاي
الاختبار المعتمد لسؤال: «هل هذي الأعداد الـ37 هي اللي تطلّعها عجلة نزيهة؟»
χ² = Σ (المرصود − المتوقع)² / المتوقع على كل الـ37 خانة. قارنه بتوزيع مربع كاي على 36 درجة حرية عشان تطلّع قيمة p.
كيف تحسبه
العدد المتوقع لكل خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات المرقّمة الـ37 اللي على الدوّار. يقولون لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ الموضوع كامل ← هو n/37. لكل خانة، ربّع الفرق بين المرصود والمتوقع واقسمه على المتوقع، وبعدها اجمع الـ37 حدّ. العجلة النزيهة تعطي قيم حوالي 36 في المتوسط (عدد درجات الحريةالمختبردرجات الحريةعدد القيم المستقلة في الإحصاء. في اختبار مربع كاي على 37 خانة هو 36، لأن مجموع الأعداد لازم يطلع نفس الإجمالي.اقرأ الموضوع كامل ←)، مع انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ وهو المسافة اللي تبعدها النتيجة عادةً عن القيمة المتوقعة.اقرأ الموضوع كامل ← حوالي 8.5. أي قيمة فوق 51.0 تعتبر دالّة عند مستوى 5%، وفوق 58.6 عند مستوى 1%. محلّل انحياز العجلة يحسب الإحصاء وقيمة pالمختبرقيمة pاحتمال إنك تشوف انحراف بنفس حجم اللي شفته أو أكبر، لو كانت العجلة نزيهة.اقرأ الموضوع كامل ← الدقيقة من دالة غاما الناقصة المنتظمة.
مثال محلول
1,000 دورة. ست وثلاثين خانة طلعت بين 20 و34 مرة، والخانة 8 طلعت 41 مرة. المتوقع 27.03. حدّ الخانة 8 لحاله يساوي (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. خلنا نفترض إن مجموع الـ36 حدّ الباقية 38 (وهذا معتاد). χ² = 45.2 على 36 df، وp ≈ 0.14. النتيجة مو دالّة: العجلة النزيهة تسوّي كذا مرة من كل سبع. الخانة 8 مرشّحة، مو اكتشاف، والجواب هو ألف دورة زيادة.
الافتراضات
دورات مستقلةرياضياتالدورات المستقلةكل دورة لها نفس الاحتمالات، مهما كان اللي صار قبلها. وهذا أساس كل حسبة في الموقع.اقرأ الموضوع كامل ←، وأعداد متوقعة لا تقل عن 5 لكل خانة، يعني n ≥ 185 عشان يكون الاختبار صالح من الأساس، وأكثر من كذا بكثير عشان يكون مفيد. لو جمعت دورات من أكثر من عجلة، فإنت تخالف روح الافتراض الأول (لأنك تختبر خليط، مو عجلة). وأثر بصمة الموزّع ممكن يخالفه فعليًا، ويرفع χ² بدون ما تكون أي خانة مفضّلة فيزيائيًا.
بيرسون ومونت كارلو
كارل بيرسون نشر الاختبار سنة 1900، وكان من أول أمثلته المحلولة 26,306 دورة روليت مسجّلة في مونت كارلو، ولقاها بعيدة عن التساوي لدرجة ما تكون صدفة، وأعلن إن «روليت مونت كارلو… مو لعبة حظ». بعدها استنتج كتّاب جوا بعده إن الصحفيين اللي سجّلوا الدورات لجريدة كانوا مألّفين كثير منها، وهذا بحد ذاته درس عن مصدر البيانات.
بيرسون ينشر اختبار مربع كاي لجودة المطابقة، ودورات مونت كارلو من ضمن أمثلته.
تنشكّك بيانات الدورات، ويبان إن المسجّلين ألّفوا سلاسل منها.
فيشر يصيغ مفهوم درجات الحرية بشكل رسمي، وعُرف الـ5% يترسّخ.
الإحصائيين يستخدمون دورات الروليت كبيانات في الكتب الدراسية لاختبارات التساوي.
عائلة غارسيا بيلايو تطبّق الطريقة على بيانات حقيقية مسجّلة وتربح في مدريد.
الكازينوهات تسوّي الاختبار نفسه على عجلاتها كجزء من الصيانة الدورية.
اختبار حقيقي: العجلات الآلية في لاس فيغاس
لاعبين كثير يشكّون إن العجلة الآلية توجّه الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة اللي ينرمي بها في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة مصنوعة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ الموضوع كامل ← بعيد عن الرهانات الكبيرة. وفي 2017 حط تحليل هذا الشك تحت الاختبار على عجلات Interblock ذات الصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ← المزدوج اللي بدون موزّع في لاس فيغاس، بالرهان على قوس من خمسة أرقام متجاورة، وهو نفس نوع الرهان اللي يسوّيه مراقب العجلة. في 299 دورة ربح القوس 29 مرة مقابل 39.3 متوقعة، ونقص بهذا الحجم تطلّعه العجلة النزيهة في حوالي 4% من المرات. ومربع كاي على كل الـ38 خانة طلع 45.29 على 37 درجة حرية: p = 16.5%. وعينة ثانية من 1,204 دورة على ثلاث عجلات أعطت χ² = 34.79، وp = 57%، وولا قوس من أي حجم جرّبوه طلع دالّ. والعينتين مع بعض، 1,503 دورة، أعطت χ² = 41.75، وp = 27%. والحكم: ما فيه دليل على توجيه الكرة. العينة الأولى لحالها كانت تبيّن شي مريب، والثانية هي اللي حسمت الموضوع.
أبعد من مربع كاي
لو تشك في خانة وحدة، اختبار ذي الحدين أقوى. ولو تشك في قوس، استخدم اختبار z لـالقطاعالعجلةالقطاعقوس متواصل من الخانات على العجلة، وهو غير المجموعة اللي على لوحة الرهان.اقرأ الموضوع كامل ← في صفحة تحليل القطاعات. مربع كاي اختبار شامل: يقول لك إن فيه شي غلط بدون ما يقول لك وش هو. استخدمه أول، وبعدها دوّر.
الصيغة
أسئلة
الأعداد الـ37 لازم يكون مجموعها n، فما فيه إلا 36 منها حرّة تتغيّر.
عجلة فيها خانة تطلع بنسبة 1/25 على 10,000 دورة بتعطي حدّ لهذي الخانة لحالها حوالي 60، وχ² حوالي 100، وp عمليًا صفر.
تقنيًا أيوه، والمتوقع 5.4 لكل خانة. لكنه ما بيكشف أي شي إلا لو كانت العجلة فيها خانة مقفولة بالغراء.
فقرة ضحك
اجمع مربعات المفاجآت. وقارن المجموع مع 51.0.
المصادر
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”