خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر رأس مالك كله قبل ما توصل للهدف حقك.
في رهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس يمشي على صيغة إفلاس المقامر. برأس مال $500 ورهانات $10 وهدف $600، توصل للهدف حوالي 57% من المرات وتفلس في الباقي.
السؤال
عندك a وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يمشي عليه النظام أو اللاعب. والتدرّجات ينوصفون بالوحدات عشان تصلح لأي طاولة.اقرأ الموضوع كامل ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي تحطه على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرر كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ الموضوع كامل ← وتبغى توصل لـa + b وحدة، وتراهن بوحدة وحدة في كل مرة على رهان دفع متساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، ودفعه 1:1.اقرأ الموضوع كامل ← احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. لرقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ الموضوع كامل ← الربح فيه p = 18/37 واحتمال الخسارة q = 19/37. كم احتمال توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب حسبه باسكال وفيرما وهويغنز في خمسينيات القرن الـ17، وهو من أقدم النتايج في علم الاحتمال.
صيغة إفلاس المقامر
P(الوصول للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كامل قبل ما توصل لهدفك أو لعدد الدورات اللي حددته.اقرأ الموضوع كامل ← هو واحد ناقص هذا. ومع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة تكبر بشكل أسّي مع عدد الوحدات، فالصيغة تعاقب الوحدات الصغيرة بقسوة: كل ما زادت الرهانات اللي تحتاجها عشان توصل للهدف، زادت المرات اللي تدفع فيها ضريبة الـ2.70% على الطريق.
كيف تقراها
الوحدات الصغيرة تضرك. لو تبغى تضاعف $500 برهانات $10 تنجح 6% من المرات؛ وبرهان واحد بـ$500 تنجح 48.6% من المرات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، يرفع لأقصى حد احتمال إنك توصل لهدف في لعبة قيمتها المتوقعة سالبة، لأنه يقلل لأدنى حد عدد المرات اللي تنطبق فيها الميزة. وبعد يرفع لأقصى حد تباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ الموضوع كامل ← اللي بيصير لك، ويخلّص الليلة بسرعة. المبرهنة اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل»، وبرهنها دوبنز وسافيج سنة 1965.
من وين بدأت المسألة
السؤال أقدم من الروليت. في 1656 حط باسكال لفيرما لغز: لاعبين يرمون ثلاثة زهر، وكل واحد يبدأ بـ12 قطعة عدّ؛ الرمية اللي مجموعها 11 تحرّك قطعة لجهة، واللي مجموعها 14 للجهة الثانية. الاثنين حلّوه، وهويغنز، اللي سمع فيه من رسالة من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي، نشره سنة 1657 كالمسألة الخامسة في أول كتاب عن الاحتمال، مع الجواب وبدون برهان. مجموع أحد عشر يطلع بـ27 طريقة وأربعة عشر بـ15 بس، فكل قطعة تتحرك لصالح اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، تخلي احتمال إنه يكسب كل شي أكبر بحوالي 1,157 مرة من إنه يخسر كل شي. ميزة 2.70% أصغر بكثير، بس نفس الصيغة توضح وش تسوي على رهانات كثير.
رهان جريء حقيقي
في أبريل 2004، آشلي ريفيل، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كل شي يملكه، حتى ملابسه، وراح بـ$135,300 لكازينو Plaza في لاس فيغاس. بعد كم رهان صغير حط المبلغ كله على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ←، مرة وحدة. الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة اللي ينرمي بها في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة مصنوعة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ الموضوع كامل ← طاحت على 7 الأحمر وطلع بـ$270,600. على عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ← مزدوج، ذيك الدورة الوحدة كان احتمالها 47.37% وكلّفته في المتوسط $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو وزّعها على رهانات $10، كان نفس الهدف بيكون شبه مستحيل. اللعب الجريء ما يخلي الرهان زين؛ يخليه أقصر ما يمكن وبس.
خطر الإفلاس لمّا ما يكون عندك هدف
إذا كنت بس تلعب لين تفلس أو توقف بعد N دورة، يصير السؤال «كم احتمال إن رأس مالي يوصل للصفر خلال N دورة؟». ما فيه صيغة مغلقة لأي N، بس المحاكيات في هذا الموقع تحسبه: رأس مال $500 برهانات $10 على الأحمر تقريبًا ما يفلس أبدًا في 100 دورة (أقل من 1%)، ويفلس حوالي 9% من المرات في 500 دورة، وحوالي 95% من المرات في 5,000. وبدون قاعدة توقف، الاحتمال يقرب من 100%، وهذي نسخة المدى الطويل من ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالنسبة من كل مبلغ رهان اللي يحتفظ فيها الكازينو في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.اقرأ الموضوع كامل ←.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
كم يصمد، وكم يتقدّم
فيه نتيجتين كلاسيكيتين بعد تجاوبان على أسئلة يسألها اللاعبين فعلًا. بدون هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة تصمد في المتوسط 37 دورة لكل وحدة من رأس المال على العجلة الأوروبية و19 على الأمريكية، لأن كل دورة تاخذ 1/37 من الوحدة في المتوسط (1/19 على العجلة الأمريكية): 100 وحدة تصمد 3,700 دورة في المتوسط، مع إن نص هالجلسات تخلص خلال 3,134 (شوف مدة الجلسة وتكلفتها). ومهما كان رأس المال كبير، احتمال إنك تكون في أي وقت متقدّم بـk وحدة على العجلة الأوروبية هو (18/19)ᵏ. هذا 95% لوحدة واحدة و58% لعشر، بس ما فيه رأس مال، مهما كان كبير، يعطيك احتمال النص إنك تكون في أي وقت رابح 13 وحدة؛ وعلى العجلة الأمريكية الاحتمال (9/10)ᵏ وينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس مال يعطيك احتمال النص
اقلب السؤال: كم لازم تجيب معك عشان يكون عندك احتمال النص على الأقل إنك تربح مبلغ معيّن قبل ما تخسر كل شي؟ لربح صغير، مو كثير. لربح أكبر يرتفع رأس المال المطلوب بسرعة، وبعد حد معيّن ما فيه رأس مال يكفي، لأن حتى رأس المال اللي ما له نهاية يعطيك أقل من احتمال النص إنك توصل لهالتقدم في أي وقت. تايلور (2021) يقولها بطريقة ثانية: على عجلة أمريكية، عشان يكون عندك احتمال النص توصل لـ100 وحدة لازم تبدأ بـ94، يعني تخاطر بـ94 عشان تربح 6. وعلى عجلة أوروبية تحتاج 88.
الدرس العملي
حدد وش تبغى تسوي. إذا هدفك ربح معيّن، راهن كبير وقليل. وإذا هدفك ليلة طويلة، راهن صغير واقبل إن الميزة بتاخذ 2.70% حقها من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتإجمالي المبلغ اللي تراهن فيه خلال جلسة أو فترة، ومعه الأرباح اللي رجعت تراهن فيها. يقولون له بعد: handle، action.اقرأ الموضوع كامل ← كبير. وإذا تبغى الاثنين، لازم تتنازل عن شي، وغالبًا يكون الهدف.
الصيغة
أسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف وش يسوّي ووش ما يسوّي.اقرأ الموضوع كامل ← يقلله في الجلسات القصيرة ويرفعه بشكل كبير في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ في كل دورة. وهو الأساس اللي يقارنون فيه كل تدرّج.اقرأ الموضوع كامل ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة إنك تقلله.
الصيغة اللي فوق للدفع المتساوي. في الرهانات اللي تباينها عالي، الإفلاس أقرب مع المبالغ الصغيرة، والوصول للهدف يكون بقفزات؛ استخدم الحاسبة.
كل خطوة باتجاه الهدف احتمالها أقل شوي من كل خطوة باتجاه الإفلاس؛ والنسبة تتراكم مع عدد الخطوات.
متعة الرياضيات
حاول تحلها بنفسك أول. كل حل مخفي؛ افتحه إذا صرت جاهز.
معك $100 وتبغى توصل $1,000، وما تراهن إلا على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ←. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 كل مرة. الخطة الثانية: تراهن بكل اللي معك لين تعدّي $500، وبعدها بس بالمبلغ اللي يكفي توصل فيه $1,000. أي خطة أفضل، وبكم؟
عرض الحل
الجواب الخطة الثانية، وبفرق كبير. توصل $1,000 في حوالي 9.0% من المرات، قريب من الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فتنجح حوالي 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيه طرف فيها له ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ الموضوع كامل ← كنت بتوصل $1,000 من $100 مرة من كل عشر مهما سويت، لأن متوسط قيمة فلوسك يظل $100.
الميزة تاخذ 2.70% من كل رهان، فكل ما كان مجموع اللي تراهن فيه أقل، تظل أقرب لمرة من كل عشر. الخطة الثانية تحسم الموضوع في كم رهان بس: $100 تصير $200، و$400، و$800، وبعدها $200 تكفي. وتنجح في حوالي 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فتاخذ آلاف الرهانات قبل ما ينتهي المشوار، والميزة، صغيرة في كل رهان، تتراكم لين يصير الإفلاس شبه مؤكد.
هذي نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط صورة (إبستين، 2013): في لعبة لصالح الكازينو، راهن بالمبلغ اللي تحتاجه، وبأقل عدد مرات ممكن.
معك $500 وتبغى $1,000، وتوقف أول ما توصلها. تختار نوع رهان واحد وتعيده لين يربح مرة وحدة أو تخلص فلوسك. أي نوع يعطيك أفضل احتمال؟
عرض الحل
الجواب رهان واحد بـ$500 على الأحمر: 48.6%. وأي خطة توزّع الفلوس على رهانات أصغر تطلع أسوأ منه.
اختار كل مبلغ رهان بحيث يكفي ربح واحد: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ الموضوع كامل ← تربّح $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين متجاورين، ودفعه 17:1.اقرأ الموضوع كامل ← تربّح $1,020، وهكذا مع الباقي. بعدين احسب احتمال إن رهان واحد على الأقل يربح قبل ما تخلص الفلوس. ستة عشر رهان رقم واحد بـ$30 تخسر كلها باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، يعني توصل $1,000 في 35.5% من المرات.
الجدول فيه كل رهان. الأحمر هو الأفضل لأنه يوصلك برهان واحد، فتدفع الميزة مرة وحدة بس، على $500. ورهان الصفينرهانرهان الصفينستة أرقام في صفين متجاورين، ودفعه 5:1. بالفرنسي: sixain.اقرأ الموضوع كامل ← يجي بعده لأنه ما يحتاج إلا ثلاثة. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.اقرأ الموضوع كامل ← الواحد هو الأسوأ، احتماله 12/37؛ وحتى لو لعبته بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يمشي عليه النظام أو اللاعب. والتدرّجات ينوصفون بالوحدات عشان تصلح لأي طاولة.اقرأ الموضوع كامل ← قيمة كل وحدة $250 لين يصير معك $1,000 أو أكثر، ما توصل الدزينة إلا في 46.4% من المرات.
بولمان (2024) يبني نفس الجدول للعجلة الأمريكية. وفي صف الدزينة عنده غلطة: الصح 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال الوصول إلى $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%تراهن بوحدة واحدة على الأحمر، دورة بعد دورة، ورأس مالكالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي تحطه على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرر كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ الموضوع كامل ← ما يخلص أبد. بعد أول دورة تكون كسبان وحدة أو خسران وحدة. وش احتمال إنك ترجع في يوم من الأيام متعادل بالضبط؟
عرض الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. وعلى العجلة الأمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
إذا ربحت أول دورة (18 مرة من 37)، تكون كسبان وحدة، والميزة تسحب كل جلسة ما لها نهاية لتحت، فلازم في الآخر ترجع تمر بالتعادل: هذا مؤكد. وإذا خسرت (19 مرة من 37)، لازم تطلع وحدة، واحتمال إنك تصير في يوم متقدم بوحدة هو 18/19 (شوف الجدول فوق).
المجموع: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وبشكل عام الاحتمال هو 1 ناقص الفرق بين احتمال إنك تربح الدورة واحتمال إنك تخسرها: 1 − 1/37 على العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 على الأمريكية. وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ← الفرق صفر والاحتمال 1: النتيجة دايمًا ترجع للتعادل. إبستين (2013) يعطي القاعدة العامة.
لغز باسكال من سنة 1656: لاعبين يرمون ثلاثة زهر، وكل واحد يبدأ بـ12 فيشة عدّ. كل 11 تنقل فيشة للاعب الأول، وكل 14 تنقل وحدة للثاني؛ وباقي الرميات ما تنحسب. وش احتمال إن اللاعب الأول ياخذ الـ24 كلها؟ ولو بدل كذا راهنت بـ1 وحدة على الأحمر كل دورة قدام صاحبك اللي يلعب دور البنك، وكل واحد معه 12 وحدة، وش احتمال إنك تاخذ الـ24 كلها؟
عرض الحل
الجواب اللاعب الأول يكسب حوالي 1,157 مرة من 1,158. أما إنت، على الأحمر، فما تاخذ الـ24 وحدة كلها إلا في حوالي 34% من المرات.
الثلاثة زهر تجيب 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل فيشة تتحرك تروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولمّا يبدأ كل طرف بـ12، احتمال إنك تاخذ كل شي هو 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف الثاني إلى احتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال حوالي 0.99914: يعني 9¹² مقابل 5¹²، أو 282,429,536,481 مقابل 244,140,625، تقريبًا 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر هذي الأرقام نفسها بالضبط سنة 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: احتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. والعملة كانت بتعطيك 50%. ميزة الـ2.70% في كل رهان تتراكم، على الرهانات الكثيرة اللي يحتاجها الموضوع، لين تصير فرق 16 نقطة.
فقرة ضحك
اللعب الجريء هو الأمثل. ويخلص بسرعة بعد.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”