التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
كيف يستقر المتوسط عند −2.70%، وليش ياخذ هذا وقت أطول من اللي يتوقعه الحدس.
متوسط الخسارة في الدورة يقرّب من −1/37 كل ما زادت الدورات، والتشتت حوله يصغر بمعدل 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر يكون المتوسط غالبًا في حدود ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري للرهانات المستقلة يتجه نحو القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي قياسي.اقرأ الموضوع كامل ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي برهان وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يمشي عليه النظام أو اللاعب. والتدرّجات ينوصفون بالوحدات عشان تصلح لأي طاولة.اقرأ الموضوع كامل ← واحدة، تكون القيمة المتوقعة لمتوسط النتيجة في الدورة −1/37 والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ وهو المسافة اللي تبعدها النتيجة عادةً عن القيمة المتوقعة.اقرأ الموضوع كامل ← حقه 1/√N. عند N = 100 يوصل هذا التشتت 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربعة أضعاف الإشارة اللي هي 2.7%. وعند N = 1,000 يصير 3.2%، تقريبًا قد الإشارة. وعند N = 10,000 ينزل إلى 1%، والميزة تبان بوضوح. في جلسة وحدة ما تبان الميزة أبد، وفي سنة كاملة مستحيل ما تشوفها.
وش اللي يتقارب ووش اللي ما يتقارب
المتوسط في الدورة يتقارب. أما المجموع فلا: يبعد عن الصفر أكثر وأكثر كل ما كبرت N، بحوالي 2.7% من N في المتوسط، ومعه تشتت قدره √N. اللاعب اللي لعب 10,000 دورة برهان $10 المتوقع إنه يكون خسران $2,700، زايد أو ناقص $1,000. نسبة الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← الجارية استقرت من زمان عند حوالي 48.65%؛ أما الرصيد الجاري فما استقر في أي مكان.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ليش الحدس يغلط
الناس يتوقعون إن الميزة بتبان بسرعة لأن 2.70% تبان نسبة كبيرة، ويتوقعون إن السلاسل الطويلة «تتعادل» لأن قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتائج المستقلة يقترب من القيمة المتوقعة كل ما زاد عدد المحاولات.اقرأ الموضوع كامل ← يقول إن المتوسطات تتقارب. الحدسين كلهم يغلطون في تقدير الحجم: الميزة صغيرة مقارنةً بـتباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ الموضوع كامل ← الدورة الوحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فتحتاج (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة عشان تبان بمقدار سيغما وحدة. وتقارب المتوسط ما يسوّي ولا شي عشان يرجّع المجموع؛ كل اللي يسوّيه إنه يخفّف أثر التذبذبات اللي راحت.
التقارب في باقي الرهانات
في رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ الموضوع كامل ← σ = 5.84، فنفس الحساب يعطيك (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة إلى ما توصل الميزة سيغما وحدة. اللي يراهن على الرقم الواحد ممكن يلعب سنين والميزة ما تتميّز عن الحظ في سجلاته، وهو يدفع بالضبط نفس الـ2.70% اللي يدفعها اللي يراهن على الأحمر ويشوفها خلال أسابيع.
وش يعني هذا لاختبار الأنظمة
أي أحد يقول إن نظامه يشتغل لازم يقدر يثبت هذا على 10,000 دورة أو أكثر بمتوسط موجب موثّق. عند 1,000 دورة، المتوسط الموجب على الدفع المتساوي يطلع مرة من كل خمس حتى لو صحّت فرضية العدم؛ وعند 100 دورة تقريبًا كأنها رمية عملة. والمحاكيات اللي في الموقع تشغّل 2,000 جلسة بالطول اللي تختاره في ثانية وحدة، وهذا دليل أقوى من أي شهادة.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. لرقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ الموضوع كامل ← إنك ترجع رابح في يوم من الأيام ينزل نحو الصفر كل ما لعبت أكثر. والمجموع ينزل بلا حدّ.
لا. معناه إن التذبذبات اللي راحت تصير جزء أصغر من عينة أكبر.
في الدفع المتساوي، حوالي 10,000 دورة قبل ما تبان الميزة بوضوح. وفي الرقم الواحد، حوالي 50,000.
متعة الرياضيات
حاول تحلها بنفسك أول. كل حل مخفي؛ افتحه إذا صرت جاهز.
اثنين أصحاب يلعبون 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيه طرف فيها له ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ الموضوع كامل ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← ضد الأسودرهانالأسودرهان دفع متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ الموضوع كامل ← مع إرجاع الرهانات عند الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ←، ويسجلون النتيجة أول بأول. عدّ الجولات اللي يكون فيها كل واحد متقدم (التعادل ينحسب للي كان متقدم قبله مباشرة). وش الأرجح: إن التقدم ينقسم 10 جولات مقابل 10، أو إن واحد منهم يتقدم في الـ20 كلها؟
عرض الحل
الجواب إن واحد يتقدم في الـ20 جولة كلها أرجح بكثير: 35.2%، أيًّا كان منهم، مقابل 6.1% لقسمة متساوية 10 مقابل 10.
احتمال إن النتيجة في لعبة عادلة تكون متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: يعني 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة معروفة، قانون قوس الجيب، تقول إن احتمال إن صاحب محدد يتقدم في 2k جولة بالضبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
التقدم في الـ20 كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل واحد، و35.2% لأي واحد منهم. والقسمة المتساوية: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وهي أقل قسمة احتمالًا من بين الكل.
في اللعبة العادلة نادرًا ما يتبدّل المتقدم. واللاعب اللي ظل متقدم طول الليل، أو متأخر طول الليل، ما شاف شي غريب، وما يدل على شي لا في العجلة ولا في المهارة. إبستين (2013) يعطي نفس القانون للألعاب الأطول: في نص الحالات، الطرف اللي حظه أحسن يكون متقدم في أكثر من 85% من وقت اللعب.
فقرة ضحك
المتوسط يتقارب. والمجموع؟ يمشي وما يرجع.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.