مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال برهان أساسي $10 على طاولة حدّها $500. كم مرة ينكسر، وكم يخسر لمّا ينكسر، وهل رفع الحدّ يفيد بشي؟
ست خسائر ورا بعض تكسره: 1.8% في كل حلقة، وتقريبًا 60% من جلسات الـ100 دورة. والانكسار يكلّفك $630. رفع الحدّ إلى $5,000 يخلّي الانكسار أندر (0.25% في كل حلقة) وأكبر ($5,110). والخسارة المتوقعة على كل دولار تراهن فيه 2.70% مهما كان الحدّ.
المسألة
لاعب يراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← ويضاعف بعد كل خسارة، ويرجع من البداية بعد أي ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) كم خسارة متتالية تكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر فيها مبلغ الرهان على حسب النتائج اللي قبل. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.اقرأ الموضوع كامل ←؟ (b) كم الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. لرقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ الموضوع كامل ← في كل حلقة؟ (c) وش اللي يروح عليك لمّا ينكسر؟ (d) كيف يغيّر حدّ $5,000 الأجوبة؟ (e) هل فيه أي حدّ يخلّي النظام مربح؟
الحلول: (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع بيكون 640 > 500، فست خسائر تكسره. (b) p(خسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني حوالي 1.8% في كل حلقة. الحلقة تاخذ تقريبًا دورتين في المتوسط، فجلسة من 100 دورة فيها حوالي 50 حلقة، وp(انكسار واحد على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يمشي عليه النظام أو اللاعب. والتدرّجات ينوصفون بالوحدات عشان تصلح لأي طاولة.اقرأ الموضوع كامل ← أساسية، مقابل الـ$10 اللي كانت الحلقة تحاول تكسبها.
الحل: (d)
عند $5,000: مبالغ الرهان إلى 2,560 مسموحة؛ والرهان العاشر، 5,120، مرفوض. تسع خسائر تكسره: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، يعني حوالي 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة لمّا ينكسر: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب اشترى كارثة أندر بثمن كارثة أكبر. وعلى جلسات كثيرة، التكلفة المتوقعة للانكسارات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 لكل حلقة عند حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 عند $5,000؛ الرقمين قريبين بس مو متساويين، وكل واحد منهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في إجمالي المبلغ اللي راهنت به؛ يعني متوسط اللي تخسره في جلسة أو في فترة.اقرأ الموضوع كامل ← للحلقة زايد الـ$10 اللي تكسبها الحلقات الرابحة.
الحل: (e)
لا. الخسارة المتوقعة لكل حلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، مهما كان الحدّ، لأن كل رهان هو −1/37 من نفسه. الحدّ بس يحدّد كيف تتوزّع الخسارة بين أرباح صغيرة كثيرة وخسائر كبيرة قليلة. ولو ما فيه حدّ ومعك رأس مال لعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي تحطه على جنب للعب. وإدارة رأس المال إنك تقرر كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ الموضوع كامل ← ما له نهاية، كان التدرّج بـ«يشتغل»، بمعنى إنه عمره ما ينكسر، بس كان كمان بيراهن بمبلغ ما له حدود وخسارته المتوقعة 2.70% من هذا المبلغ اللي ما له حدود. مو حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةأقل رهان وأكبر رهان مسموحين. والحد الأقصى هو اللي يوقّف تدرّجات المضاعفة.اقرأ الموضوع كامل ← هو اللي يمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف وش يسوّي ووش ما يسوّي.اقرأ الموضوع كامل ← من إنه يشتغل. الحساب هو اللي يمنعه.
طاولتين من الواقع
مثال ثورب طاولة حدّها الأدنى $1 والأقصى $1,000، ولاعب يتمنّى يكسب $30 حق العشا، دولار دولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 تسمح بعشرة رهانات، فعشر خسائر متتالية تكسر التدرّج: مرة كل 785 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 613 على الأمريكية)، وتكلّف $1,023. الثلاثين حلقة كلها تنجح في 96.2% من المرات. والـ3.8% الباقية تخسر حوالي $1,000، ومتوسط نتيجة السهرة −$9.17، وهذا بالضبط 1/37 من الـ$339 اللي تراهن فيها الثلاثين حلقة في المتوسط. وطاولة حدّها الأدنى $5 والأقصى $2,000 ما تختلف: مبالغ الرهان إلى $1,280 تسمح بتسعة رهانات، والانكسار يجي مرة كل 403 حلقات على العجلة الأوروبية (ومرة كل 323 على الأمريكية) ويكلّف $2,555.
لاعب غني
أعطِ التدرّج رأس مال كبير بدل حدّ منخفض: 1,000 وحدة، ورهان أساسي بوحدة واحدة، و1,000 دورة على الأحمر، وترجع لوحدة واحدة كل ما كانت المضاعفة الجاية أكبر من اللي باقي معك. إحنا سوّينا محاكاة لمليون سهرة زي كذا. على العجلة الأوروبية 52% تخلص بربح، و21% تخسر كل شي، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ←، كل رهاناتها عادلة، حوالي 60% بس بتخلص بربح. السهرة المعتادة فيها ربح صغير؛ والمتوسط تدفع ثمنه السهرات اللي تنتهي عند الصفر.
الخلاصة
الكازينوهات تحط الحدود عشان تضبط التباينرياضياتالتباينمقياس لمدى انتشار النتائج حول القيمة المتوقعة. مرتفع في رهان الرقم الواحد، ومنخفض في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ الموضوع كامل ← حقها هي، مو عشان تهزم أنظمة الرهان. هزيمة مارتينغال نتيجة جانبية هم مبسوطين فيها، والحساب كان بيهزمه في كل الأحوال. واللاعب اللي يظن إن الحدّ هو المشكلة لقى الجرف وحسبه هو المنحدر.
الصيغة
أسئلة
يخلّيك تصمد إلى حدّ أعلى، وهناك الانكسار أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة لكل دولار ما تتغيّر.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: توصل لحدّ الـ$500 بعد خمس خسائر، والانكسار يكلّفك $570. ونفس الـ2.70%.
عشان ما يقدر لاعب واحد يراهن بأكثر من اللي يقدر احتياطي الكازينو يدفعه براحة. إدارة للتباين.
متعة الرياضيات
حاول تحلها بنفسك أول. كل حل مخفي؛ افتحه إذا صرت جاهز.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف وش يسوّي ووش ما يسوّي.اقرأ الموضوع كامل ← يبدأ بـ$100 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← ويسمح لنفسه بـn رهان بالأكثر في كل حلقة: بعد n خسارة ورا بعض يستسلم ويبدأ من جديد. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الوحدة كصيغة بدلالة n، واحسبه لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
عرض الحل
الجواب المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. كل ما سمحت برهانات أكثر، متوسط الحلقة يصير أسوأ، مو أحسن.
الحلقة تربح $100 إلا إذا خسرت الـn رهانات كلها، وهذا يصير باحتمال qⁿ، وq = 19/37. ولمّا تخسرها كلها، مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). يعني المتوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، يعني أكبر من 1 بشوي، فـ(2q)ⁿ يكبر مع n والمتوسط ينزل: n = 5 يعطي 1.1426، يعني −$14.26؛ n = 6 يعطي 1.1735، يعني −$17.35؛ n = 7 يعطي 1.2052، يعني −$20.52. السلّم الأطول يخسر أقل، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، بس كل خسارة أكبر بمرتين، وفلوس أكثر تمر على الطاولة كل حلقة، و2.70% على كل رهان.
وعلى العجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ← 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالضبط مهما طال السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة ويزيد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يمشي عليه النظام أو اللاعب. والتدرّجات ينوصفون بالوحدات عشان تصلح لأي طاولة.اقرأ الموضوع كامل ← واحدة، فمبالغ الرهان تمشي 1، 3، 7، 15، 31 … كم تكون رابح لمّا يجي أول ربح في الرهان الأول أو الثاني أو الثالث أو في الرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحدّ أقصى $500، كم مرة الحلقة تنكسر، وكم تكلّف الحلقة في المتوسط؟
عرض الحل
الجواب الربح في الرهان رقم k يخليك رابح k وحدات: +1، +2، +3 وهكذا. وبـ$10 و$500 الحلقة تنكسر بعد خمس خسارات، في 3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وفي المتوسط الحلقة تخسر $2.32 من $85.73 راهنت فيها: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع أول k − 1 مبالغ هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والربح في الرهان رقم k يدفع 2ᵏ − 1، فالحلقة تخلص وإنت رابح (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة عن كل خسارة قبل الربح.
بوحدة $10 مبالغ الرهان $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ واللي بعدها، $630، أكبر من الحدّ الأقصى $500. وخمس خسارات ورا بعض، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: الأرباح تجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 إلى 5، والانكسار ياخذ $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط الفلوس اللي تراهن فيها $85.73 كل حلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي على الطاولة نفسها فينكسر بعد ست خسارات، في 1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 راهنت فيها: 2.70% مرة ثانية.
لاعب ناوي يلعب مارتينغال على الأحمر بأول رهان $1 على طاولة حدّها $1,000، يعني عشرة رهانات ممكنة: $1، $2، $4 وهكذا لين $512. كم مرة الحلقة تخسر العشرة كلها، وكم ياخذ هذا في المتوسط، وكم مرة سهرة فيها 200 رهان تخلص بهذا الشكل؟
عرض الحل
الجواب الحلقة تخسر العشرة كلها تقريبًا مرة من كل 784، وهذا يكلّف $1,023. يعني تقريبًا 1,600 رهان في المتوسط، وسهرة فيها 200 رهان تصطدم بالجدار تقريبًا في 11% من المرات. والحلقة للحين تخسر في المتوسط $0.31 من $11.31 راهنت فيها: 2.70%.
رهان الأحمر يخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. عشر مرات ورا بعض: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني تقريبًا 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة تاخذ 2.05 رهان في المتوسط، فـ784 حلقة تاخذ تقريبًا 1,600 رهان. ولو تحسبها دورة دورة، سلسلة من عشر خسارات تطلع في مكان ما من 200 رهان في 11.3% من المرات.
بين كارثة والثانية اللاعب يربح $1 كل حلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، وبعدها −$1,023، يعني تقريبًا −$240 على الفترة كلها. وكل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والفلوس اللي تراهن فيها كل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارنها بأول رهان $10 عند حدّ $500، يعني ست رهانات: الجدار يجي مرة كل 55 حلقة، وسهرة فيها 200 رهان تصطدم فيه في 84% من المرات. الحدّ الأعلى يخلّي الانهيار أندر وأكبر، مو أرخص.
فقرة ضحك
أندر وأكبر، مع أي حدّ. وحاصل الضرب ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.