احتمال السلاسل في الروليت
السلاسل الطويلة من لون واحد شي عادي. وما لها أي معنى للدورة اللي بعدها بعد.
أحمر خمس مرات على التوالي: 2.7%. عشر: 0.074%. وفي جلسة 200 دورة، سلسلة من ست مرات بنفس اللون تطلع في أكثر من نص الجلسات.
كل كم مرة تجي سلسلة الخسارات
رهان الدفع المتساوي على عجلة بصفر واحد يخسر 19 دورة من 37. كل صف يبيّن احتمال إن عدد معيّن من الدورات ورا بعض تخسر كلها، وكم يكون خسر لين ذاك الوقت لاعب مارتينغال اللي يضاعف رهانه بعد كل خسارة.
| خسارات ورا بعض | الاحتمال | تقريبًا 1 من كل | الخسارة لين الحين | الرهان الجاي |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
الاحتمال هو 19/37 مضروب في نفسه مرة عن كل خسارة، ومحسوب من دورة وحدة معيّنة. والجلسة الطويلة فيها دورات كثيرة ممكن تبدأ منها سلسلة مثل هذي، فعلى طول سهرة كاملة احتمالها أكبر بكثير من اللي يبيّنه صف واحد.
سلسلة وحدة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. لرقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ الموضوع كامل ← إن الدورات الـk الجاية كلها تطلع أحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← هو (18/37)ᵏ. مرتين: 23.7%. خمس: 2.7%. عشر: 0.074%، يعني حوالي 1 من 1,350. عشرين: 1 من 1.8 مليون. ستة وعشرين، الرقم القياسي في مونت كارلو: 1 من 137 مليون. هذي احتمالات سلسلة معيّنة تبدأ من دورة معيّنة، وهذا سؤال تقريبًا ما أحد يسأله فعلًا.
داخل الجلسة
السؤال اللي يقصده الناس هو «هل بتطلع سلسلة من k في أي مكان في جلستي؟»، والجواب أكبر بكثير من (18/37)ᵏ لأن جلسة الـ200 دورة فيها تقريبًا 200 مكان ممكن تبدأ منه السلسلة. سلسلة من ست مرات أو أكثر بنفس اللون، أحمر أو أسودرهانالأسودرهان دفع متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ الموضوع كامل ←، تطلع في جلسة 200 دورة حوالي 94% من المرات؛ ثمان أو أكثر حوالي 47%؛ عشر أو أكثر حوالي 14%. ولو حددت اللون من البداية تنزل الاحتمالات لحوالي 75% و27% و7%. اللاعب اللي يقعد ليلة كاملة بيشوف سلاسل طويلة كل ليلة.
ليش هذا يهم مارتينغال
كل تدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر فيها مبلغ الرهان على حسب النتائج اللي قبل. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.اقرأ الموضوع كامل ← سلبي له طول سلسلة يكسره: ست خسارات من رهان أساسي $10 مع حد $500، وعشر في فيبوناتشياستراتيجيةفيبوناتشيتدرّج يمشي على المتتالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13…: خطوة لقدّام إذا خسرت، وخطوتين لورا إذا ربحت.اقرأ الموضوع كامل ←، وخمس لو تضرب في ثلاثة على الدزيناترهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.اقرأ الموضوع كامل ←. احتمال سلسلة ست خسارات على الدفع المتساوي (19/37)⁶ ≈ 1.8% في كل محاولة، وجلسة الـ200 دورة فيها يمكن 100 محاولة، فالكسر يجي تقريبًا في أربع جلسات من كل خمس بهذا الطول. احتمال السلاسل في الروليت هو السبب إن هذا السقوط مو نادر.
الأرقام الساخنة والباردة
نفس الحساب يمشي على رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ الموضوع كامل ←. في 300 دورة، العدد المتوقع لكل رقم 8.1؛ والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ وهو المسافة اللي تبعدها النتيجة عادةً عن القيمة المتوقعة.اقرأ الموضوع كامل ← حوالي 2.8. دايم بيكون فيه رقم يطلع 15 مرة ورقم يطلع 2 مرة بس، بالصدفة لا غير. لوحة النتائج اللي تبرز الأرقام «الساخنة» تبرز أعلى توزيع طبيعي وبس. المختبر يشرح كم دورة تحتاج قبل ما يصير لـالرقم الساخنخرافةالرقم الساخنرقم طلع في الفترة الأخيرة أكثر من المتوقع. وعلى عجلة نزيهة ما يتوقع أي شي.اقرأ الموضوع كامل ← أي معنى (آلاف، من عجلة وحدة محددة).
الاستقلال هو أصل الموضوع
عشر مرات أحمر ورا بعض ما تخلي الأسود أكثر احتمالًا، ولا تخلي الأحمر أكثر احتمالًا بعد. الاثنين 18/37. السلاسل صفة طبيعية في المتتاليات العشوائية، ولو ما ظهرت كان هذا اللي يثير الشك: متتالية 200 دورة ما فيها ولا سلسلة أطول من أربع بتكون دليل على التلاعب أقوى بكثير من متتالية فيها سلسلة من اثنعش.
الصيغة
أسئلة
المشهورة هي 26 مرة أسود في مونت كارلو في 18 أغسطس 1913. وانذكر إن الأحمر طلع 32 مرة على التوالي في كازينو أمريكي سنة 1943. الاثنين ممكن يصيرون بالصدفة، إذا شفت كم دورة تدوّر الكازينوهات.
هو 18/37 في الحالتين. راهن على اللي تقوله خطتك، أو لا تراهن أبدًا.
لا. الانحياز يبان إن بعض الخاناتالمعداتالخانةوحدة من الحجرات المرقّمة الـ37 اللي على الدوّار. يقولون لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ الموضوع كامل ← تطلع أكثر على مدى آلاف الدورات، مو على شكل سلاسل لون.
متعة الرياضيات
حاول تحلها بنفسك أول. كل حل مخفي؛ افتحه إذا صرت جاهز.
كم دورة تحتاج العجلة الأوروبية في المتوسط عشان يطلع كل رقم من الأرقام الـ37 مرة وحدة على الأقل؟
عرض الحل
الجواب حوالي 155 دورة في المتوسط؛ والوسيط 147.
احسب الانتظار رقم جديد بعد رقم جديد. أول دورة دايمًا تطلّع رقم جديد. لمّا تكون شفت 1 رقم، فيه 36 خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات المرقّمة الـ37 اللي على الدوّار. يقولون لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ الموضوع كامل ← من 37 جديدة، فالرقم الجديد اللي بعده ياخذ في المتوسط 37/36 دورة. ولمّا تكون شفت k أرقام، ياخذ 37/(37 − k).
اجمع الانتظارات: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 دورة.
ومعظم هذا يجي في الآخر. آخر رقم لحاله ياخذ 37 دورة في المتوسط، وآخر خمسة حوالي 85. وعلى العجلة الأمريكية نفس المجموع يعطي حوالي 161. هذي «مسألة جامع القسائم»؛ ونفس المتوسط يطلع من الحساب المعروف.
في 37 دورة على عجلة أوروبية، يعني دورة لكل خانة، كم رقم مختلف المفروض تتوقع تشوف؟
عرض الحل
الجواب حوالي 23.6. وتقريبًا ثلث الأرقام، حوالي 13، ما تطلع ولا مرة.
خذ رقم واحد، مثلًا 17. في كل دورة احتمال إنه ما يطلع 36/37، فاحتمال إنه يغيب عن الـ37 دورة كلها (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
وكل الأرقام لها نفس الاحتمال، فيغيب في المتوسط 37 × 0.363 ≈ 13.4 رقم، ويطلع 37 − 13.4 ≈ 23.6، وكثير منها يطلع مرتين أو أكثر.
لاعبين الروليت يسمّونه «قانون الأثلاث». وهو مو قانون ولا شي، بس حساب التكرار: في سلسلة طولها قد العجلة، تقريبًا ثلث الأرقام تقعد على جنب، في العجلة النزيهة مثل أي عجلة. وعلى 38 خانة النسبة بعد (37/38)³⁸ ≈ 0.363؛ وفي العجلة الكبيرة تثبت قريب من 1/e ≈ 0.368.
صاحبك يوريك قائمتين، كل وحدة فيها 50 لون، أحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ الموضوع كامل ← أو أسودرهانالأسودرهان دفع متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ الموضوع كامل ←، ويقول إن كل وحدة جات من عجلة شالوا منها الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ←. الأولى يتغيّر فيها اللون 25 مرة وأطول سلسلة فيها ست. والثانية يتغيّر فيها 35 مرة وما تعدّي أي سلسلة فيها ثلاث. أي وحدة مخترعة؟
عرض الحل
الجواب الثانية. القائمة الحقيقية يتغيّر فيها اللون حوالي 24 أو 25 مرة. وقائمة فيها 35 تغيير تطلع تقريبًا مرة من كل 500 قائمة، واللي ما فيها سلسلة أطول من ثلاث تقريبًا مرتين من كل 100.
كل لون جديد إمّا يكرّر اللي قبله أو يتغيّر، نص بنص، فـ49 فرصة تغيير تعطي في المتوسط 24.5 تغيير، زايد أو ناقص حوالي 3.5. والخمسة وثلاثين فوق المتوسط بثلاث خطوات من هذي؛ والعجلة النزيهة تطلّع هالعدد من التغييرات تقريبًا مرة من كل 500 قائمة.
والسلاسل تحكي نفس القصة. القائمة الحقيقية من 50 لون فيها سلسلة من أربع أو أكثر في حوالي 98% من الحالات، وأطول سلسلة فيها غالبًا خمس أو ست.
الناس لمّا تطلب منهم يخترعون قائمة عشوائية يغيّرون اللون أكثر من اللازم، لأن السلسلة من أربع أو خمس تبان لهم كأنها نمط. وتايلور (2021) يوضّح نفس العلامة في قوائم رمي عملة اخترعها طلاب: العشوائية الحقيقية فيها سلاسل أكثر من اللي يتوقعه الناس.
كتاب فيه قصص كازينوهات يحكي عن لاعب طلع رقمه خمس مرات ورا بعض ويقول إنه رقم قياسي. لأي درجة هذا نادر على العجلة الأوروبية؟ وكم مرة المفروض يصير في أي مكان في كازينو واحد فيه 20 طاولة، كل وحدة تدوّر 40 مرة في الساعة، ليل ونهار؟
عرض الحل
الجواب رقم محدد مسبقًا يطلع خمس مرات ورا بعض: 1 من 69 مليون. وأي رقم يطلع أربع مرات زيادة بعد أول ما يطلع: 1 من 1.87 مليون. والكازينو هذا يدوّر حوالي 7 ملايين دورة في السنة، فالمفروض يشوف سلسلة من خمس ثلاث أو أربع مرات كل سنة.
الرقم المحدد احتماله 1/37 في كل دورة، فاحتمال خمس مرات ورا بعض (1/37)⁵ = 1 من 69,343,957. بس ما أحد يحدد الرقم من قبل. فأيًّا كان اللي يطلع أول، لازم الأربع دورات اللي بعده تكرره: (1/37)⁴ = 1 من 1,874,161.
20 طاولة × 40 دورة × 24 ساعة × 365 يوم = 7,008,000 دورة في السنة. وكل دورة ممكن تبدأ سلسلة، فالكازينو يتوقع 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 سلسلة من خمس كل سنة.
ما فيه سجل رسمي من هالنوع، وما له داعي: الشي النادر على طاولة وحدة شي عادي على مستوى الكازينو كله، والقصص تنحكى عن الطاولة اللي صار عليها. والقصة، عند غولدمان (2007)، صارت على عجلة بصفر مزدوج، وهناك الأرقام 1 من 79 مليون و1 من 2.09 مليون.
فقرة ضحك
السلاسل الطويلة هي شكل العشوائية بالضبط.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.