مسألة: عجلة أعياد الميلاد
كم دورة لين يتكرر أي رقم؟ أقل بكثير من اللي يخمّنه أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات المرقّمة الـ37 اللي على الدوّار. يقولون لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ الموضوع كامل ←: بعد 8 دورات بس يصير احتمال إن فيه رقم طلع مرتين أكثر من النص. اللاعبين يشوفون التكرار كأنه نمط؛ بس هو التصرّف الطبيعي المتوقع من عجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية نزيهة. كم دورة لازم إلى ما يصير احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 إلى 1 أو من 0% إلى 100%. لرقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ الموضوع كامل ← إن دورتين على الأقل طلّعت نفس الرقم أكثر من النص؟ أغلب اللاعبين يخمّنون شي حول 18 أو 19، يعني نص 37. والجواب: 8.
الحل
احسب احتمال إن ما فيه أي تكرار واطرحه من واحد. بعد k دورة، p(كلها مختلفة) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). لمّا k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(فيه تكرار) ≈ 0.56. ولمّا k = 14 يصير 0.93؛ ولمّا k = 20 يصير 0.996. الحدس يغلط لأن عدد أزواج الدورات يكبر مثل k²، وأي زوج منها ممكن يتطابق.
ليش هذا مهم على الطاولة
لوحة النتائج اللي فيها آخر 20 رقم تقريبًا دايم بتلقى فيها تكرار واحد على الأقل، وكثير اثنين أو ثلاثة. اللاعبين يشوفون «17 طلع مرتين في عشر دورات» ويستنتجون إن 17 رقم ساخن؛ بس حسبة عيد الميلاد تقول إن التكرار خلال عشر دورات يصير في 74% من المرات والرقم اللي يتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ بس ما له معنى.
مسألة تكميلية
كم دورة إلى ما يطلع رقم محدّد، خلنا نقول 17، مرتين؟ هذا سؤال ثاني وجوابه أكبر بكثير: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال إن 17 يطلع مرتين خلال 20 دورة حوالي 10%. والفرق بين «أي رقم يتكرر» (8 دورات) و«هذا الرقم بالذات يتكرر» (74 دورة) هو الفرق كله بين نمط تنتبه له بعدين وتوقّع تقوله من قبل.
جرّبها بنفسك
شغّل اللعبة التجريبية عشر دورات وشوف السجل. غالبًا بتلقى تكرار. شغّلها مرة ثانية. الرقم اللي يتكرر بيكون غير. سوّها عشر مرات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص لازم يجتمعون إلى ما يصير الأرجح إن ثنين منهم لهم نفس يوم الميلاد، أو كم دورة إلى ما يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات تكفي عشان يصير الاحتمال فوق النص.اقرأ الموضوع كامل ← بعينك؛ وسوّها ألف مرة (المحاكيات تقدر) وتكون قستها.
الصيغة
أسئلة
بالضبط، بس بـ37 خانة بدل 365 يوم. 23 شخص يعطونك 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات تعطيك 56% في العجلة.
50% بعد حوالي 19 دورة. للحين شي عادي.
لا. آلاف الدورات من نفس العجلة ممكن تدل على كذا؛ أما تكرار واحد فعمره ما يدل.
متعة الرياضيات
حاول تحلها بنفسك أول. كل حل مخفي؛ افتحه إذا صرت جاهز.
لوحة النتايج اللي جنب عجلة أمريكية تعرض آخر 16 دورة. كم احتمال إن ما فيه ولا رقم يطلع عليها مرتين؟
عرض الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: يعني تقريبًا 39 لوحة من كل 40 فيها تكرار واحد على الأقل.
خلنا نمشي دورة دورة. الدورة الأولى ممكن تطلع أي شي. الثانية لازم ما تطلع نفس رقمها: 37 فرصة من 38. والثالثة لازم ما تطلع ولا واحد من الاثنين: 36 من 38. والدورة السادسة عشر لازم ما تطلع ولا واحد من الخمستعش رقم: 23 من 38.
اضربها في بعض: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي ما فيها تكرار هي النادرة. أما اللوحة اللي فيها تكرار فما تقول لك أي شي عن العجلة.
في عشر دورات على عجلة أوروبية، كم احتمال إن 17 يطلع خمس مرات بالضبط؟ وإن رقم ما، أي رقم كان، يطلع خمس مرات أو أكثر؟ وإن رقم ما يطلع ثلاث مرات على الأقل في أربع دورات؟
عرض الحل
الجواب 17 خمس مرات بالضبط: 1 من 315,576. رقم ما خمس مرات أو أكثر: تقريبًا 1 من 8,333. رقم ما ثلاث مرات أو أكثر في أربع دورات: 1 من 349.
17 خمس مرات: اختار أي خمس دورات من العشر، وهذي 252 طريقة، كل وحدة احتمالها (1/37)⁵ × (36/37)⁵. ومع بعض يطلع 1 من 315,576.
رقم ما: كل رقم من الـ37 احتماله 1 من 308,325 إنه يطلع خمس مرات أو أكثر، فيصير 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة اللي فيها رقمين كل واحد طلع خمس مرات تنحسب مرتين، بس لو شلتها ما يتغيّر شي بهذي الدقة.
ثلاث مرات في أربع دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ ولأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
وعلى عجلة الصفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي ما يغطيها لا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها تجي ميزة الكازينو. يقولون له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ الموضوع كامل ← المزدوج، الأرقام المقابلة 1 من 359,275 و1 من 9,243 و1 من 368. والفرق بين «17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص لازم يجتمعون إلى ما يصير الأرجح إن ثنين منهم لهم نفس يوم الميلاد، أو كم دورة إلى ما يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات تكفي عشان يصير الاحتمال فوق النص.اقرأ الموضوع كامل ← من جديد: فيه 37 طريقة عشان تنصدم.
فقرة ضحك
فيه شي بيتكرر بدري. بس وش هو؟ عشوائي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة الروليت.